MÉTODO DE LA SECANTE

El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto. Sin embargo, la forma funcional de f(x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. En estos casos es más útil emplear el método de la secante.
El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una aproximación de acuerdo con la expresión

f'(x0) =  (f(x1)-f(x0))/(x1 - x0) .... 1

Sustituyendo esta expresión en la ecuación  del método de Newton, obtenemos la expresión del método de la secante que nos proporciona el siguiente punto de iteración:

x2 = x0 - [ (x1 - x0)/ (f(x1) - f(x0))] * f(x0)  ... 2

En la siguiente iteración, emplearemos los puntos x₁ y x₂ para estimar un nuevo punto más próximo a la raíz de acuerdo con la ecuación (2). En la figura  se representa geométricamente este método.

En general, el método de la secante presenta las mismas ventajas y limitaciones que el método de Newton-Raphson explicado anteriormente.

PROBLEMA. Se desea diseñar un tanque esférico para almacenar agua . El volumen del líquido que puede contener se calcula mediante:

                        2

 V = (3.1416) h  [3R - h]

                 3

donde V = volumen, h = profundidad del agua y R=  radio del tanque.

Si R = 3 m, ¿ a que profundidad debe llenarse el tanque de modo que contenga 30 metros cúbicos ?

Utilice el método de la secante con aproximación a tres iteraciones.

PRESENTACIÓN

 

METODOS NUMERICOS

 

 

 

En este espacio, se trataran temas referentes a la metodologia numerica para resolver problemas de ingenieria cuyos modelos matemticos, por su complejidad, requieren de algoritmos programables en computadora y asi obtener el resultado aproximado para la interpretacion y analisis del sistema o proceso de la rama de ingenieria correspondiente.

 

A continuacion se presenta el contenido del programa:

 

1. Introducción a los métodos numéricos.

 

 

1.1. Historia de los métodos numéricos

1.2. Razones de su aplicación

1.3. Conceptos de exactitud, precisión y error

1.4. Errores inherentes, de redondeo y por truncamiento

1.5. Errores absoluto y relativo

1.6. Uso de herramientas computacionales

2. Solución de ecuaciones no lineales de una variable.

2.1. Búsqueda de valores iniciales. Tabulación y graficación.

2.2. Métodos cerrados y sus interpretaciones geométricas (bisección y regla falsa).

2.3. Métodos abiertos y sus interpretaciones geométricas así como sus criterios de

convergencia (Newton-Raphson, secante).

2.4. Aplicaciones de la solución de ecuaciones no lineales

2.5. Uso de herramientas computacionales.

3. Interpolación

3.1. Interpolación lineal

3.2. Fórmula de interpolación de Lagrange

3.3. Método de interpolación hacia adelante y hacia atrás de Newton para puntos uidistantes

3.4. Aplicaciones de la interpolación.

3.5. Uso de herramientas computacionales

 

4. Integración numérica

 

4.1. Formulas de integración de Newton-Cotes

4.2. Regla trapecial

4.3. Aplicaciones de la integración numérica.

4.4. Uso de herramientas computacionales

 

5. Solución de sistemas de ecuaciones lineales

 

5.1. Eliminación Gaussiana

5.2. Método de Gauss-Jordan

5.3. Método de Gauss Seidel
 

5.4. Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

5.5. Uso de herramientas computacionales.

6. Solución de sistemas de ecuaciones no lineales.

 

6.1. Método de Jacobi

6.2. Método de Gauss-Seidel.

6.3. Métodos de Newton-Raphson.

6.4. Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones no lineales.

6.5. Uso de herramientas computacionales

FUENTES DE INFORMACIÓN

1. Mathews, John H. & Fink, Kurtis D.

Métodos Numéricos con Matlab.Prentice – Hall.

2. Chapra, Steven C.

Método Numéricos para Ingenieros. McGraw – Hill, 1999.

3. Keller, Howard.

Mastering Mathcad. McGraw – Hill.

4. Atkinson, Kendall.

Elementary Numerical Analysis. John Wiley.

5.

The Student Edition of Matlab 5. Prentice – Hall.

6. Luthe, Olivera, Schutz. Métodos Numéricos. Limusa, 1986.

7. Nakamura, Shoichiro.

Métodos Numéricos Aplicados con Software. Prentice – Hall,

1992.